Mathematik: Chinese liefert Beweis zu Primzahl-Cousins

Primzahlen: Die Jagd nach den Zwillingen

Gibt es unendlich viele Primzahlzwillinge wie 5 und 7 oder 41 und 43? Mathematiker glauben fest daran, doch bislang fehlt der Beweis. Den Schlüssel zur Lösung dieses alten Zahlenrätsels könnte nun ein Chinese geliefert haben.

Primzahlen faszinieren Menschen seit Jahrtausenden. Sie besitzen nur zwei Teiler – 1 und sich selbst – aber das sieht man ihnen leider nicht an. Primzahlen sind, wenn man so will, die Elementarbausteine der Zahlen. Jede Zahl ist entweder eine Primzahl oder das Produkt aus mindestens zwei Primzahlen.

Eines der ältesten ungelösten Rätsel der Mathematik betrifft die sogenannten Primzahlzwillinge. Primzahlen treten gern als Pärchen auf mit einem Abstand von 2. Beispiele dafür sind 5 und 7, 11 und 13 sowie 41 und 43. Schon der Grieche Euklid soll die Vermutung aufgestellt haben, dass es unendlich viele solcher Primzahlzwillinge gib. Beweisen konnte er dies freilich nicht – und nach ihm auch kein anderer Mathematiker.Yitang Zhang von der University of New Hampshire ist nun jedoch ein Durchbruch gelungen, der womöglich hilft, die uralte Vermutung endlich zu beweisen. Der aus China stammende Mathematiker hat einen Beweis dafür vorgelegt, dass es, salopp formuliert, unendlich viele Primzahlcousins gibt. Demnach existieren unendlich viele Primzahlpaare, bei denen der Abstand der beiden Zahlen kleiner als 70 Millionen ist.

Auf den ersten Blick scheint das kaum etwas mit Primzahlzwillingen zu tun zu haben – deren Differenz beträgt schließlich nur 2 und nicht 70 Millionen. Doch Experten halten diesen Beweis trotzdem für einen wichtigen Meilenstein, vielleicht sogar für den entscheidenden.

Unter Mathematikern ist Zhang bislang kaum bekannt. Erst seit drei Jahren beschäftigt er sich mit Primzahlzwillingen und blieb dabei zunächst erfolglos wie alle seine Kollegen. „Primzahlen sind ja per Definition eine einfache Sache“, sagt Zhang. „Aber es stecken sehr große Geheimnisse in ihnen.“

„Er hat es geschafft“

Die Idee für seinen Beweis kam ihm, als er einen Freund in Colorado besuchte. „Ich hatte weder Notizen, Bücher noch Fachartikel dabei“, erinnert er sich. „Und plötzlich kam mir dieser Gedanke.“ Am 13. Mai hat Zhang seinen Beweis dann in einer Vorlesung an der Harvard University präsentiert. Die Arbeit wurde zur Veröffentlichung im Fachblatt „Annals of Mathematics“ eingereicht, durch Kollegen geprüft und ist laut „Nature“ bereits zur Veröffentlichung angenommen.

Zahlentheoretiker feiern Zhangs Arbeit überschwänglich: „Das ist ein scharfsinniges Ergebnis“, sagt Peter Sarnak von der Princeton University, früherer Herausgeber der „Annals of Mathematics“. „Das Resultat ist ein absoluter Durchbruch“, erklärt der Augsburger Mathematiker Bernhard Hanke. „Egal wie groß die Zahlen werden, es gibt immer wieder Primzahlen, die nicht allzu weit auseinanderliegen.“ Henryk Iwaniec von der Rutgers University ergänzt: „Er hat es geschafft, da gibt es keine Zweifel.“

Als nächstes geht es nun darum, die Lücke von 70 Millionen immer mehr zu verkleinern, bis man schließlich bei 2 ankommt – und damit beim Beweis der Vermutung über die Primzahlzwillinge. Der Sprung von 70 Millionen zu 2 sei nichts im Vergleich zum Sprung von 70 Millionen zur Unendlichkeit, betont Zhang. Er glaubt fest daran, dass das Rätsel der Primzahlzwillinge lösbar ist. „Das sollte sehr einfach sein“, sagte er der „New York Times“.

Dass Primzahlen tatsächlich als Zwillinge auftreten können, ist leicht zu verstehen. Jede Primzahl außer 2 und 3 lässt sich durch die Formeln 6n+1 oder 6n-1 darstellen, wobei n eine natürliche Zahl ist. Der Beweis dafür ist kurz: Die Zahlen 6n, 6n ± 2 und 6n ± 3 können keine Primzahlen sein, weil sie durch 2, 3 oder 6 teilbar sind. Also kommen nur 6n+1 und 6n-1 als mögliche Primzahlen in Frage – und diese beiden Zahlen unterscheiden sich genau um 2.Eine Formel zum Finden von Primzahlzwillingen ist 6n ± 1 jedoch nicht. Eine solche Formel existiert nicht – genauso wenig wie eine allgemeine Formel für Primzahlen. Der Grieche Euklid hat bereits in der Antike gezeigt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Primzahlzwillinge sind seltener als Primzahlen. Unter den Zahlen von 1 bis 100 gibt es nur acht Pärchen bei immerhin 25 Primzahlen. Unterhalb einer Milliarde existieren mehr als 50 Millionen Primzahlen, aber nur etwa dreieinhalb Millionen Zwillingspaare.

Eine praktische Anwendung seines Beweises, dass es unendlich viele Pärchen unteilbarer Zahlen mit einem Abstand von höchstens 70 Millionen gibt, kennt Zhang nicht. Für ihn sind die Primzahlcousins ein faszinierendes akademisches Puzzle, das ihn seit Jahren umtreibt. Und mit ihm viele andere Mathematiker.

Quelle:  http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/mathematik-chinese-gelingt-beweis-ueber-primzahlzwillinge-a-901000.html

English Version:  http://www.nature.com/news/first-proof-that-infinitely-many-prime-numbers-come-in-pairs-1.12989#/b1

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